Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: F(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde F(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 pesos.:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución:
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:F(x)=-0.002x2+0.8x-5
F`(x)=-0.004x+0.8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
-0.004x+0.8 =0
-0.004X=-0.8
X=0.8/0.004
X=200 pesos
Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquie
rda de los valores que nos ha dado 0 (cero) la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno seria:
se toma un punto menor que 200, por ejemplo 199, y sustituimos
F´(199)= -0.004(199)+0.8=0.004>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 201)
F´(201)=-0.004(201)+0.8=-0.004<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y F es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en el punto 200 hay un máximo local
f
 |  |
f ´ + 200 -
b) Como se demostró en el anterior ejercicio en el punto 200 se encuentra un máximo local lo que indica que la mayor rentabilidad es en el punto 200 de la función, por lo que se tienen que invertir 200 pesos.
c) La máxima rentabilidad es:
F(200)= -0,002.(200)2+0.8(200)5 = 75 pesos
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